工繊大の塚本です.

In article <b0ba0563-12fa-44c3-a8d4-dd1c6f9c09dd@z1g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> なぜかレスをアップできなかったので新規に続きをアップさせていただきたい
> と思います。

この記事は既に見て, followup も投稿致しましたが,
 References が長くなった為に, うまく表示できない
環境もあるかも知れません. もう一度 followup を
投稿致しておきます.

> F_cが[a,b]で単調増加&normalizedなのでTheorem3.5から
> Borel測度μ_c:[a,b]→[0,∞)が定義できて,もしx<yならμ_c((x,y])=F_c(y)-F_c(x)
> =1 (c∈[x,y]の時),0(c∈[x,y]でない時)
         (x,y]           (x,y]
が正しい.

> そしてμ_c({a}):=F_c(a),μ_c({b}):=L_c(1)と定義する。

 F(b) = L_c(1) と定義するのであって,
 μ_c({b}) = L_c(1) とは違います.

 R 上の単調増加で右連続な F_c は
  F_c(u) = 0  (u < c), F_c(u) = 1  (u ≧ c) で
定められます. このとき対応する μ_c は
 {c} に台を持つ Dirac 測度 δ_c です.
従って, ∫_a^b f(x) dδ_c(x) = f(c) となるわけです.
 Lebesgue 測度と共に, こういう例も頭においておけば
理解が進む筈です.

> μ((-∞, a)) = μ((b, ∞)) = 0 はなかなか示せません。

 F が R 上で定義されていると考えれば,
 μ((-∞, a)) = lim_{n→∞} μ((-n, a - 1/n])
 = lim_{n→∞} (F(a - 1/n) - F(-n))
 = lim_{u→a-0} F(u) - lim_{u→-∞} F(u)
であり, u < a なら F(u) = 0 でしたから,
 μ((-∞, a)) = 0,
 μ((b, ∞)) = lim_{n→∞} μ((b, n])
 = lim_{n→∞} (F(n) - F(b))
 = lim_{u→∞} F(u) - F(b)
であり, b ≦ u なら F(u) = F(b) でしたから,
 μ((b, ∞)) = 0 です.

# というか, そうなるように F は拡張しました.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp