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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: ∫_{R^n} f(x)dx=∫_0^∞(∫_{S^{n-1}}f(rγ))r^{n-1}dσdrの証明で
Date: Tue, 17 Mar 2009 17:54:21 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 66
Message-ID: <090317175421.M0421921@cs2.kit.ac.jp>
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NNTP-Posting-Date: Tue, 17 Mar 2009 08:54:22 +0000 (UTC)
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2576

工繊大の塚本と申します.

In article <2b2246a8-5566-43c6-9511-33240d04ceef@v19g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [問] Φ:R^n＼{0}→(0,∞)×S^{n-1}; x|→Φ(x):=(r,γ)を同相写像とする。
> (0,∞)上のBorel集合体B((0,∞))上の測度ρ_nをρ_n(F)=∫_F r^{n-1}dr…①とし,
> Borel集合体B(R^n)においてΦ(B(R^n))上の測度をν_nとし,

 ν_n は R^n＼{0} の Lebesgue measure の「押し出し」では
ないのですか.

> ν_n=ρ_n×σ_n…②なるS^{n-1}上の測度σ_nが存在するとする。
> この時,fがB(R^n)上の非負Borel可測関数かf∈L^1(R^n,B(R^n),μ_n)
>  (但し,μ_nはB(R^n)上のBorel測度)

 μ_n は R^n の Lebesgue measure ではないのですか.
勿論, その Borel 集合体への制限を考えているという
ことでしょうが, 単に Borel 測度というのは変でしょう.

> ならば
> ∫_{R^n} f(x)dx=∫_0^∞(∫_{S^{n-1}}f(rγ))r^{n-1}dσdr…(*)が成立する。
> 
> を示しています。
> 
> [証]
> E∈B(R^n)の特性関数χ_Eに対し,χ_E(Φ^-1(r,γ))=χ_{Φ(E)}(r,γ)…③
> と書けるのでdμ_n:=dxと表す事にすれば
> (∵dxはdm_n(x)(但しm_nはn次元ルベーグ測度)と書ける)

だから, μ_n は Lebesgue measure (の Borel 集合体への
制限)で,

> ∫_{R^n} f(x))dx=∫_{R^n} f(x)dμ
> =∫_{R^n} χ_E(x)dμn
> =μ_n(E)(∵特性関数の積分の定義) =ν_n(Φ(E))(∵③)

 ν_n はその「押し出し」 Φ_* μ_n ですね.

> =∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dν_n.
> =∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)r^{n-1}drdσ_n(∵①,②)
> 
> で①,②からどうして,
> ∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dν_n.
> から
> ∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)r^{n-1}drdσ_n
> の変形ができるのか分かりません。
> 
> ①からdρ_n/dr=r^{n-1}なのでdρn=r^{n-1}dr.
> よって
> ∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dν_n
>.=∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)d(ρ_n×σ_n)
> =∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dρ_ndσ_n
> =∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)r^{n-1}dr.ndσ_n
> となったのだと思いますがどうしてd(ρ_n×σ_n)=dρ_ndσ_n
> が成り立つのでしょうか?

 d(ρ_n×σ_n) のことを dρ_n dσ_n と書くのは,
 Fubini の定理で正当化されます. ま, 単にそう書くもの
というだけでそこは良いでしょう.

> ここを突破すると後はお決まりのように単関数,MCT,f=f^+-f^-と拡張していけます。

問題ないでしょうね.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp