工繊大の塚本と申します.

In article <86150b2e-1ad9-4f0f-a464-a7af42b0d2cc@l39g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [Theorem3.3] In the setting above ,supppose f(x_1,x_2) in an
> integrable function  on (X_1×X_2,μ_1×μ_2).
> (i) For almost every  x_2∈X_2,the slice f^{x_2}(x_1)=f(x_1,x_2) is an
> integrable function on (X_1,μ_1).
> (ii) ∫_{X_1} f(x_1,x_2)dμ_1 is an integrable fucntion on X_2.
> (iii) ∫_{X_2}(∫_{X_1}f(x_1,x_2)dμ_1)dμ_2=∫_{X_1×X_2} fd(μ_1×μ_2)
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/theorem3_3.jpg
> についての質問です。
> 
> 『もし,求められる結論が有限個の関数について成り立つなら
> それらも線形結合に対して成り立つ。

有限個の関数について成り立つなら,
それらの線形結合についても成り立つ, つまり,
成り立つような関数有限個の線形結合についても成り立つ,
というわけです.

> 特にfは非負と仮定して十分である。

例によって, f = f^+ - f^- とすれば, f が可積分という仮定から
 f^+, f^- も可積分ですから, f^+ と f^- について Theorem 3.3
の結論が成立しているなら, その線形結合である f についても
 Theorem 3.3 の結論は成立します. 従って, 非負の可積分関数
について示せば十分です.

> f=χ_Eの時,但し,Eは有限測度の集合,
> 我々が証明したい事はPorposition3.2に含まれている。
> 従って,求められる結果も単関数に対して成り立つ。

ここで単関数というのは, 有限測度の E の χ_E の
線形結合ですね.

> 従って,単調収束定理より全ての非負関数について成り立ち,定理が証明された』

これでお仕舞い.

> が証明部分の訳になろうかと思います。
> 線形結合云々とか何の事かよく分かりません。

何処が分からない所でしょうか.

> (i)については∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_1<∞を示せばいいのですよね。
> f(x_1,x_2)が可積なので∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)<∞
> という事ですよね。
> よって∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)に対して
> Fubiniの定理が使えて
> (σ有限の仮定が見当たらないのですがFubiniの定理は使えるでしょうか),

こちらは Chapter 2 の内容を知りません. Chapter 2 で
一般的な積測度の話が展開されていましたか. それは
ともあれ, そんなものを使わずに, Proposition 3.2
から直接一般的な Fubini の定理を示そうという話だと
思いますよ.

> ∞>∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)
>   =∫_{X_2}(∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_2) dμ_1

うーん, この書き方だと, X_2 空間での積分が dμ_1 に
ついて行われ, X_1 空間での積分が dμ_2 について行われる
ことになりますよ.

    =∫_{X_2}(∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_1) dμ_2

だとして, これが Chapter 2 で証明されているなら,
わざわざ証明し直したりしないと思いますが.

> でもしa.e.x_2∈X_2で∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_1=∞なら
> 任意の零集合Zに対して∀x_2∈X_2＼Z (μ_2(X_2＼Z)>0)に対して
> ∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_1=∞という事なの
> で0<|f(x_1,x_2)|
> ∫_{X_2}(∫_{X_1}|f(x_1,x_2)|dμ_2)dμ_1
> =∫_{X_1}(∫_{X_2}|f(x_1,x_2)|dμ_1) dμ_2

これ, どちらも入れ替わってますね.

> =∫_{X_1＼Z}(∫_{X_2}|f(x_1,x_2)|dμ_1)dμ_2=∞となり,矛盾。
> よってa.e.x_2∈X_2でf(x_1,x_2)は可積となったのですが
> これでもいいのでしょうか?

それは Chapter 2 の内容と照らし合わせて, 貴方が
御判断されるしかありませんね. 私は,
 Chapter 2 の内容を忘れて, ここの証明を追う方が
良かろうと思います.

> (ii) については∀x_2∈X_2で∫_{X_1} f(x_1,x_2)dμ_1が可積
> (∫_{X_2}|∫_{X_1} |f(x_1,x_2)|dμ_1|dμ_2<∞)
> である事を言えばいいのだと思います。
> ∫_{X_2}|∫_{X_1} |f(x_1,x_2)|dμ_1|dμ_2
> =∫_{X_2}∫_{X_1} |f(x_1,x_2)|dμ_1dμ_2
> (∵∫_{X_1} |f(x_1,x_2)|dμ_2≧0)
> =∫_{X_1×X_2} |f(x_1,x_2)|d(μ_1×μ_2)
> (∵(∵仮定(f(x_1,x_2)はX_1×X_2で可積))よりFubiniの定理)
> <∞
> (∵仮定(f(x_1,x_2)はX_1×X_2で可積))
> ∴ ∀x_2∈X_2で∫_{X_1} f(x_1,x_2)dμ_1は可積な関数
> となったのですがこれでいいでしょうか?

これも同じことで, 本当に Chapter 2 で Fubini の定理が
証明されているのですか.

> (iii) については仮定f(x_1,x_2) in an integrable function
>  on (X_1×X_2,μ_1×μ_2)
> からFubiniの定理で言えると思います。

これも同じく.
 
> 勘違いしておりませんでしょうか?

少なくとも, Theorem 3.3 の証明は明快ですので,
それを理解されておく方が良いと思います.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp