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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: R^d＼{0}の任意の開集合はR_+ × S^{d-1}の可算個の和集合で表される事を示せ
Date: Mon, 2 Mar 2009 19:10:52 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 94
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工繊大の塚本です.

In article <3725b133-8a77-4950-9f1c-c9d92136ea2b@e18g2000yqo.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> こうしてはどうでしょうか。上記の有理数列{q_n}は
> q_1=0,q_2=1,q_3=-1,q_4=1/2,q_5=-1/2,q_6=2,q_7=-2,q_8=1/3,q_9=-1/3,q_10=3,q_11=-3,q_12=1/4,q_13=-1/4,
> q_14=2/3,q_15=-2/3,q_16=3/2,q_17=-3/2,q_18=4,q_19=-4,…
> としていけば正負の全有理数を網羅できると思います。
> まあ有理数全体は可算集合だから順に並べれる事は当たり前なのですが。

どうも, 有理数をどう使うのかが明確ではありませんね.
今, 求められているのは, R^d＼{O} を R^+×S^{d-1} だと
考えて, その開矩形 (a, b)×U, 0 < a < b, U ⊂ S^{d-1}, open
の可算和で E を書き表すことです.
 q_n は a, b の指定, U の指定とどう関係するのですか.

> R^2内の有理点(x,y)ならa_1:=(q_0,q_0),a_2:=(q_0,q_1),a_3:=(q_1,q_0),(q_1,q_1),
> (q_1,q_2),…
> R^3内の有理点(x,y,z)ならa_1:=(q_0,q_0,q_0),a_2:=(q_0,q_0,q_1),(q_0,q_1,q_0),
> (q_0,q_1,q_1),(q_0,q_1,q_2),…
> ：
> R^d内の有理点(x_1,x_2,…,x_d)なら…a_1:=(q_0,q_0,…,q_0),a_2:=…
> という風に一番右の成分を一の位,右から二番目を十の位、
> 右から三番目を百の位,…と見立てるのです。
> 更に{r_n}も組み合わせて
> a_1:=(r_1,q_0,q_0,…,q_0),a_2:=(r_1,q_0,q_0,…,q_1),a_3:=(r_1,q_0,q_0,
> …,q_3),…
> 並べればR^+×R^+×R^{d-1}の全有理点を順番に網羅できると思います。
> その時,U_1:=nbhd((q_0,q_0,…,q_0),r_1),U_2:=nbhd((q_0,q_0,
> …,q_1),r_1),U_3:=nbhd((q_0,q_0,…,q_3),r_1),…
> と各近傍にラベルを振っていきます。

だから, 点と同じ番号の r_n を取るのではありませんね.
点も可算個, r_n も可算個で, その全ての組が可算個で
あるとして, 番号を付け直すのですね.

最初に与えられた nbhd はどうも不都合なところがありそうですから,
先ず, S^{d-1} には R^{d-1} の有理数点に対応する, 可算個の
稠密な点列 p_n があることを認め, 正の有理数 r, s, t で
 r < s, t ≦ 2 を満たす組を取って,

  nbhd(n, r, s, t) = (r, s)×B_t(p_n) ⊂ R^+×S^{d-1}
  B_t(p_n) = { p ∈ S^{d-1} | |p - p_n| < t }

を考えることにしましょう. これは矩形であり, それらの全体は
可算個ですから, それを U_i と並べておくことにして,

> そして{U⊂ψ(E);U∈{U_1,U_2…}}

そう, U ⊂ ψ(E) という条件を満たすものだけを取る,
満たすものは全て取る, ということを明らかにして
おかないと議論が始まりません.

> の元の中でラベルが一番若い近傍をV_1,二番目に若い近傍をV_2,…という風に
> ラベリングし直していくと,,,

 ψ(E) に入る nbhd(n, r, s, t) の形の開矩形を V_i として
並べれば,

> ∪_{i=1}^∞ V_i = ψ(E)となるのが主張です。

 ∪_{i=1}^∞ V_i ⊂ ψ(E) は保証されます.

> まず,y:=(y_1,y_2,…,y_d)∈ψ(E)∩R^dを採ると,
> 0<∃δ∈R;nbhd(y,δ)⊂ψ(E)(∵開集合の定義)。
> その時,0<r_n<δ/2なる有理数r_nが採れる(∵有理数の稠密性)。
> その時,x:=∃(x_1,x_2,…,x_d)∈nbhd(y,r_n) (∵有理数の稠密性)。
> するとy∈nbhd(x,r_n)⊂ψ(E)でnbhd(x,r_n)=V_iなる番号iが存在するので

どうしてでしょうか. 貴方の言う nbhd(y, δ) とか
 nbhd(x, r_n) とかが, どのような開矩形であるかが
どうもはっきりしないので,

  nbhd(y, δ) ⊂ ψ(E),
  0 < r_n < δ/2,
  x ∈ nbhd(y, r_n)

から y ∈ nbhd(x, r_n) ⊂ ψ(E) が出て来るように作って
あるかどうかが判断できません.

# 開矩形というのは, 中心からの距離が r より小さな
# 点の集まりである開球とは違います.

> nbhd(x,r_n)⊂∪_{i=1}^∞ V_i.
> y=(y_1,∞,∞,…,∞)の時も同様。
> 、、、という事でψ(E)⊂∪_{i=1}^∞ V_i..
> 
> という感じでいかがでしょうか?

こういう問題のときは細部をきちんと述べなければ
何を言ったことにもなりません.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp