Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!news.unit0.net!news.k-dsl.de!news.motzarella.org!motzarella.org!news.motzarella.org!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: R^d=R^{d_1}×R^{d_2}とする時,R^dのルベーグ測度mはm_1×m_2の完備化になっている事を示せ Date: Mon, 2 Mar 2009 01:08:34 +0900 Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 76 Message-ID: <090302010834.M0221643@cs1.kit.ac.jp> References: <090224212026.M0109028@cs2.kit.ac.jp> <4a06f53a-16ff-49d6-9e2f-6f2ac344fcce@f37g2000vbf.googlegroups.com> <090225203123.M0123197@cs2.kit.ac.jp> <16740961-8c41-4dac-a4fa-32982497af66@x38g2000yqj.googlegroups.com> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: news.eternal-september.org U2FsdGVkX18dI7zOPGfSDEAXBnCVn6mxZlQvtq8Gw0lk18MjN4X9a/2f46Lb9Blq6D1/PTVGS3yqGWeIObnDMY9WjjBWqHF80zH3ZOJlmE9i4YnCEtVQmtO/jmEiba/D05pzPWLJP6I= X-Complaints-To: Please send complaints to abuse@motzarella.org with full headers NNTP-Posting-Date: Sun, 1 Mar 2009 16:08:34 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX18OtvdEYmx7yh/Ni4YOSIiqJZMWrZsc7Sw= Cancel-Lock: sha1:BfokzEudP0+gs91jP9/8E6wyrv4= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2487 工繊大の塚本です. In article <16740961-8c41-4dac-a4fa-32982497af66@x38g2000yqj.googlegroups.com> kyokoyoshida123 writes: > つまり,M={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^d (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m(F)=0}, > M_1={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^{d_1} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m_1(F)=0}, > M_2={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^{d_2} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m_2(F)=0} > となっているのですね。 そうです. > ここでM,M_1,M_2はμとμ_1とμ_2とで定義されているので > μとμ_1とμ_2の定義域はそれぞれσ({Π_{i=1}^d (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}), > σ({Π_{i=1}^{d_1} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}), > σ({Π_{i=1}^{d_2} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R})なのですね。 勿論, その完備化上でも定義されています. > In article <090225203123.M0123197@cs2.kit.ac.jp> > Tsukamoto Chiaki writes: > > K_2 ∈ T_2 を任意に固定すると, 任意の K_1 ∈ T_1 について > > K_1×K_2 は T の元ですから, > > 任意の E_1 ∈ σ(T_1) について, > > E_1×K_2 は σ(T) の元になります. > > これは難しいですね。何故でしょうか? E_1×K_2 が σ(T) の元になるような E_1 の全体は, T_1 を含む σ 集合体になるからです. 当然 T_1 を 含む最小の σ 集合体 σ(T_1) はそれに含まれます. > > 次に E_1 を固定すると, > > 任意の K_2 ∈ T_2 について E_1×K_2 が σ(T) の元ですから, > > 任意の E_2 ∈ σ(T_2) について E_1×E_2 が σ(T) の元に > > なります. ここでも同じ議論を使うわけです. > つまり,E_1×K_2∈σ(T)でK_1×E_2∈σ(T)も言える。 > よってE_1×E_2=(E_1×K_2)∪(K_1×E_2)∈σ(T)(∵σ集合体の定義)となる > からでしょうか? E_1×E_2 と (E_1×K_2)∪(K_1×E_2) がどうして同じなのです? > > # G ∈ M とは, ある E, F ∈ B で E ⊂ G ⊂ F かつ m(E) = m(F) > > # となるものがとれるものですが, > ： > > # 二つの測度が一致する集合の全体がσ集合体をなすことを > > # 使っています. > > 大変恐縮です。 > すいません。ここだけ混乱してしまいました。 > M = σ(M_1×M_2)~が成立する事が分かった後は, > http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/problem13.jpg > での完備化測度の定義 > 「μ~がμの完備化測度 ⇔(def) ∀E,F∈Mに対しμ~(E∪Z)=μ(E) > (但し,Z⊂F∈M,μ(F)=0)」 > でチェックしてみたいのですが > 今,mがm_1×m_2の完備化測度になっている事を示したいので > ∀E,F∈M (但し,Z⊂F,(m_1×m_2)(F)=0)に対し.m(E∪Z)=(m_1×m_2)(E) > を示したいのですがうまくいきません。 > Mは完備化σ集合体ですからZ∈MでE∪Z∈Mだから > m(E∪Z)が定義できていることはわかりました。 > m(E∪Z)からどうすれば(m_1×m_2)(E)に持っていけますでしょうか? 先ず, B = σ(B_1×B_2) であり, この上で, m と m_1×m_2 が 一致しているところから始めます. G ∈ M というのは, ある E, F ∈ B があって, m(F) = 0 であり, Z ⊂ F があって, G = E ∪ Z となることでした. 一方 E, F ∈ σ(B_1×B_2) でもあります. (m_1×m_2)(E) = m(E), (m_1×m_2)(F) = m(F) = 0 です. 従って, m(G) = m(E) = (m_1×m_2)(E) = (m_1×m_2)(G) です. -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp