Path: news.ccsf.jp!shiino.jp!mmcatv.co.jp!jpix!newsfeed2.kddnet.ad.jp!newsfeed2.kddnet.ad.jp!newsfeed.freenet.de!newsfeed00.sul.t-online.de!newsfeed01.sul.t-online.de!t-online.de!feeder.erje.net!news.motzarella.org!motzarella.org!nntp.motzarella.org!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: (Ω,Σ,μ)においてf_kはfにL^p収束(1≦p≦∞)なら∀g∈L^q (1/p+1/q=1)に対して∫_Ωf_k(x)g(x)dμ→∫_Ωf(x)g(x)dμを示せ Date: Tue, 2 Dec 2008 19:54:14 +0900 Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 52 Message-ID: <081202195414.M0131073@cs1.kit.ac.jp> References: Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp X-Trace: nntp.motzarella.org U2FsdGVkX1+mAqpwXKNgeiJyrUfZxwewe/HFIb2N1ewsxjKoCpC+BUJl7Xl8IhFrnYQRLSZJuj0nH7ek/BlCeaiQm+BY1Y7E/aHjkaAvQI5M+zlVVXNgziRTrDrYCf01jte4CVmrTqs= X-Complaints-To: Please send complaints to abuse@motzarella.org with full headers NNTP-Posting-Date: Tue, 2 Dec 2008 10:54:15 +0000 (UTC) X-Newsreader: mnews [version 1.22PL5] 2001-02/07(Wed) X-Auth-Sender: U2FsdGVkX1+VqCZpUUAWyNjnX4tJ0qErL99tElYIVTc= Cancel-Lock: sha1:IPrHx0tMtnqJfK5jLe8s+hqp15w= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2350 工繊大の塚本と申します. In article kyokoyoshida123 writes: > [Q] Let (Ω,Σ,μ) be a measure space and suppose f_k→f in L^p (1≦p≦∞). > Show, for any g∈L^q (1/p+1/q=1), that ∫_Ωf_k(x)g(x)dμ→∫_Ωf(x)g(x)dμ. > > という問題です。 > > p=∞(q=1)とp=1(q=∞)と1 いけないと思います。 それが良さそうですね. > 書き下すと > > (i) p=∞の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_∞=0 > (つまり,lim[k→∞]inf{K∈R;|f_k(x)-f(x)|≦K a.e.}=0)ならば > ∀g∈L^1:={g;gはΣ可測,∫_Ω|g(x)|dμ<∞}に対して, > lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。 f_k, f は essential には有界ですから, ある M > 0 について |f_k(x) g(x) - f(x) g(x) | ≦ |f_k(x) - f(x)||g(x)| ≦ 2M |g(x)| が a.e. で成立し, 2M |g(x)| が可積分ですから, 有界収束定理が 使えます. > (ii) p=1の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_1=0 > (つまり,lim[k→∞]∫_Ω(f_k(x)-f(x))dμ=0)ならば > ∀g∈L^∞:={g;gはΣ可測,gはa.e.有界}に対して, > lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。 ある M > 0 について |g(x)| ≦ M が a.e. で成立しますから, |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| ≦ M |f_k(x) - f(x)| が a.e. で 成立. 両辺が積分可能ですから, 後は簡単ですね. > (iii) 1 (つまり,lim[k→∞](∫_Ω(f_k(x)-f(x))^pdμ)^(1/p)=0)ならば > ∀g∈L^(p/(p-1)):={g;gはΣ可測,∫_Ω|g(x)|^(p/(p-1))dμ<∞}に対して, > lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。 この場合には, |∫_Ω f_k(x) g(x) dμ - ∫_Ω f(x) g(x) dμ| ≦ ∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ = ∫_Ω |f_k(x) - f(x)||g(x)| dμ ≦ (∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p dμ)^{1/p}×(∫_Ω |g(x)|^q dμ)^{1/q} を使えば簡単ですが, 最後のところの H\"older の 不等式の証明は終わっているのでしょうか. -- 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp