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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: 線形代数の直和分解の問題で質問です
Date: Sun, 12 Oct 2008 20:00:20 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 33
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NNTP-Posting-Date: Sun, 12 Oct 2008 11:00:20 +0000 (UTC)
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工繊大の塚本です.

In article <29a8f4f7-619d-4e3a-86ed-f074a9d420a5@f37g2000pri.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> Sylvesterの定理は各空間に基底を与えるのかもしれません。
> 
> V_p=Span of the positive elements of the basis
> V_n=Span of the negative elements.

直交基底を作っておいてから, その <v_i, v_i> > 0 となるものの
生成する部分ベクトル空間を V_p, <w_j, w_j> < 0 となるものの
生成する部分ベクトル空間を V_n とすれば良いことは, 先に
注意しました.

> つまり,
> V_p:=span{v∈V;もしv≠0なら<v,v>>0}
> V_n:=span{v∈V;もしv≠0なら<v,v><0}
> これなら線形部分空間になりますよね。

生成するものを取れば部分ベクトル空間にはなりますが,
それは欲しいものではありません.

一番簡単には R^2 に <(x_1, y_1), (x_2, y_2)> = x_1 x_2 - y_1 y_2
という内積を入れた場合を考えて見ましょう.

  { v ∈ V ; <v, v> > 0 } = { (x, y) ∈ R^2 ; x^2 - y^2 > 0 }
  { v ∈ V ; <v, v> < 0 } = { (x, y) ∈ R^2 ; x^2 - y^2 < 0 }

のいずれも直線 y = x と y = - x で区切られた角領域で,
その生成するベクトル空間は R^2 全体になります.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp